Correzione compito in classe

classe IV, Ottobre 2006

Disegna la conica di equazione x2 +2y2 – x = 0 . Determina le coordinate dei punti della curva nei quali la tangente è parallela alle bisettrici del I e III quadrante e del II e IV quadrante. Calcola l’area della figura delimitata da tali tangenti e dall’ellisse. 
L'equazione, completando il quadrato dei termini in x,  può essere riscritta
	
 
equivalente a
	
 
e anche a
	
 
Una ellisse con centro C(1/2,0), assi di simmetria paralleli
agli assi coordinati, e
	
 


L'equazione della retta tangente in un punto T(x0, y0)
della curva è, con la formula di sdoppiamento,
	
 
in forma canonica
	
 
Le coordinate dei punti T con tangente parallela a una delle rette richieste
devono perciò soddisfare la condizione
	
 
Il sistema che mi permette di determinare T è dunque:
	
 
Le soluzioni sono:
	
 
Le equazioni delle rette tangenti sono dunque
	
 
	


La figura delimitata dalle quattro tangenti è evidentemente un quadrato.
I due punti R ed S intersezioni delle tangenti con l'asse focale sono la
diagonale di questo quadrato. Quindi l'area sarà
	
 
Calcolando che
	
 
Così l'area del quadrato è
	
 
e infine l'area richiesta è
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione